E.D SEPAARACIOND EVARIABLES
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- ¡Buen dia clase el tema de hoy es! ECUACIONES DIFERENCIALES POR VARIABLES SEPARABLES
- Una ecuacion diferencial de la forma y´ = f(x, y) se denomina devariables separables si y´ (x) = f(x, y)= Q(x)R(y), donde Q y R son funciones dadas, es decir, se puede expresar comoun producto de dos factores, uno dependiente de x ´unicamente y el otrosolamente de y
- luego la ecuaci´on se puedeescribir así: P(y) y´ = Q(x), si R(y) =0, y, P(y)=[R(y)]−1; la solución a dicha ecuación viene caracterizada por la siguiente proposición
- Sea y = Y (x) una solución cualquiera de la E.D P(y)y ´ = Q(x) tal que Y es un elemento de C1(I). Sean P y Y elementos deC(I), se define h´ (x) = P(x)
- para todo x ∈ I, donde yverifica h(y) = ∫ Q (x)dx + c (x)dx + c para un valor c. Ademas,si y satisface h(y) = ∫ Q (x)dx + c entonces y es solucion de P(y)y ´ =Q(x) Demostracion. Supongamos que y = y(x) para x en I es soluciónde P(y)y´ = Q(x). Luego P[Y (x)]Y ´ (x) = Q(x) para x en I. Como h´ (x) =P(x), entonces h´ [Y (x)]Y (x) = Q(x). Utilizando la regla de la cadena, setiene que [(hoY )(x)]´ = Q(x), luego h[Y (x)] = ∫ Q (x)dx + c.
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